Лауреат Всероссийского конкурса вокалистов в Белгороде (1991).
Юрий Алексеев родился в Красноярске. В 1991 году окончил Ростовскую государственную консерваторию им. С.В. Рахманинова (класс Б. Мазура). В том же году был принят в труппу Воронежского театра оперы и балета, на сцене которого исполнил партии Альфреда («Травиата»), Ленского («Евгений Онегин»), Молодого цыгана («Алеко») и Турриду («Сельская честь»).
В 1996 году Юрий Алексеев вошел в состав оперной труппы Мариинского театра на сцене которого дебютировал в партии Альфреда («Травиата»).
Среди партий, исполняемых на сцене Мариинского театра: 
Самозванец («Борис Годунов») 
Владимир Игоревич («Князь Игорь») 
Ленский («Евгений Онегин») 
Чекалинский («Пиковая дама») 
Искра («Мазепа») 
Польский гонец («Жизнь за царя») 
Медведчик («Сказание о невидимом граде Китеже и деве Февронии») 
Эдип («Царь Эдип») 
Яков Глок, Сосед («Огненный ангел») 
Дон Антонио («Обручение в монастыре») 
Генерал Барклай де Толли, Адъютант генерала Кампана, Хозяин бала, Первый немецкий генерал («Война и мир») 
Почтмейстер («Мертвые души») 
Норман и Артур («Лючия ди Ламмермур») 
Леоне («Аттила») 
Макдуф («Макбет») 
Альфред («Травиата») 
Ричард («Бал-маскарад») 
Руис («Трубадур») 
Дон Карлос и Королевский герольд («Дон Карлос») 
Радамес и Гонец («Аида») 
Кассио, Родериго («Отелло») 
Пинкертон («Мадам Баттерфлай») 
Джо («Девушка с Запада») 
Тинка, Луиджи («Плащ») 
Калаф («Турандот») 
Эленус («Троянцы») 
Хозе («Кармен») 
Арбас («Идоменей, царь Критский) 
Мелот («Тристан и Изольда») 
Августин Мозер («Нюрнбергские мейстерзингеры»)
Первый филистимлянин («Самсон и Далила») 
Лаца («Енуфа») 
Второй иудей («Саломея»)
Концертный репертуар певца включает теноровые партии в Реквиеме Моцарта, мессах Шуберта и Реквиеме Верди. 
Юрий Алексеев гастролировал с труппой Мариинского театра в Финляндии, США, Японии, Португалии, Люксембурге, Испании и Китае, выступал с концертными программами в Ирландии (фестиваль в Уэксфорде), Испании (фестиваль в Пироладе), Италии и Голландии.